Section: Research Program

Systèmes à événements discrets/Discrete event systems

Des systèmes dynamiques max-plus linéaires, de type (2 ), interviennent aussi, avec une interprétation toute différente, dans la modélisation des systèmes à événements discrets. Dans ce contexte, on associe à chaque tâche répétitive, $i$, une fonction compteur, $v_i:ℝ\to \mathbb{N}$, telle que $v_i\left(t\right)$ compte le nombre cumulé d'occurrences de la tâche $i$ jusqu'à l'instant $t$. Par exemple, dans un système de production, $v_i\left(t\right)$ compte le nombre de pièces d'un certain type produites jusqu'à l'instant $t$. Dans le cas le plus simple, qui dans le langage des réseaux de Petri, correspond à la sous-classe très étudiée des graphes d'événements temporisés  [82] , on obtient des équations min-plus linéaires analogues à (2 ). Cette observation, ou plutôt, l'observation duale faisant intervenir des fonctions dateurs, a été le point de départ  [86] de l'approche max-plus des systèmes à événements discrets [6] , qui fournit un analogue max-plus de la théorie des systèmes linéaires classiques, incluant les notions de représentation d'état, de stabilité, de séries de transfert, etc. En particulier, les valeurs propres fournissent des mesures de performance telles que le taux de production. Des généralisations non-linéaires, telles que les systèmes dynamiques min-max  [151] , [124] , ont aussi été étudiées. Les systèmes dynamiques max-plus linéaires aléatoires sont particulièrement utiles dans la modélisation des réseaux  [66] . Les modèles d'automates à multiplicités max-plus  [108] , incluant certains versions temporisées des modèles de traces ou de tas de pièces  [112] , permettent de représenter des phénomènes de concurrence ou de partage de ressources. Les automates à multiplicités max-plus on été très étudiés par ailleurs en informatique théorique  [168] , [125] , [138] , [169] , [131] , [152] . Ils fournissent des modèles particulièrement adaptés à l'analyse de problèmes d'ordonnancement  [137] .

English version

Dynamical systems of type (2 ) also arise, with a different interpretation, in the modelling of discrete event systems. In this context, one associates to every repetitive task, $i$, a counter function, $v_i:ℝ\to \mathbb{N}$, such that $v_i\left(t\right)$ gives the total number of occurrences of task $i$ up to time $t$. For instance, in a manufacturing system, $v_i\left(t\right)$ will count the number of parts of a given type produced up to time $t$. In the simplest case, which, in the vocabulary of Petri nets, corresponds to the much studied subclass of timed event graphs  [82] , we get min-plus linear equations similar to (2 ). This observation, or rather, the dual observation concerning dater functions, was the starting point  [86] of the max-plus approach of discrete event systems [6] , which provides some analogue of the classical linear control theory, including notions of state space representations, stability, transfer series, etc. In particular, eigenvalues yield performance measures like the throughput. Nonlinear generalisations, like min-max dynamical systems  [151] , [124] , have been particularly studied. Random max-plus linear dynamical systems are particularly useful in the modelling of networks  [66] . Max-plus automata models  [108] , which include some timed version of trace or heaps of pieces models  [112] , allow to represent phenomena of concurrency or resource sharing. Note that max-plus automata have been much studied in theoretical computer science  [168] , [125] , [138] , [169] , [131] , [152] . Such automata models are particularly adapted to the analysis of scheduling problems  [137] .